本文神圣单概率的见解动身，慢慢过渡到条目概率，临了先容贝叶斯定理。整个经过会尽量保握直不雅，不触及复杂的数学神气。
假设有两个盒子：盒子 A 和盒子 B。盒子 A 装了 4 个球，3 红 1 绿；盒子 B 相似装了 4 个球，1 红 3 绿。
一个蒙着眼的东谈主站在两个盒子前边，赶紧选中任一盒子的概率是 1/2。采取了某个盒子，比如盒子 A，从中摸到红球的概率是 3/4，摸到绿球的概率是 1/4。
树形图瓦解地展示了盒子采取和球采取的概率漫衍也引出了几个基本见解：蒙眼的东谈主采取盒子 A 后，取到红球的概率是 3/4，取到绿球的概率是 1/4。
选中任一盒子的概率是 1/2，写成数学谈话：P(A) = 1/2，P(B) = 1/2。这属于浅显概率。
在盒子 A 已被选中的前提下，从中取出红球的概率是 P(R | A) = 3/4。这即是条目概率，它以"盒子 A 已被选中"为条目，说法是"在盒子 A 已被选中的条目下，取出红球的概率"。
P(R | A) = 3/4 = count of Red balls in box A / total balls in box A
同理，P(G | A) = 1/4 暗示在盒子 A 已被选中的条目下取出绿球的概率。
条目概率有一个要津特征：它减弱了"天下"的限度。预备条目概率时，参考系甩手在条目所界定的子集之内。采取盒子时，"天下"是包含两个盒子的全集；采取球时，"天下"减弱到了阿谁特定的盒子，概率以该盒子中球的总和为分母。换言之，即是用盒子 A 中红球的数目除以盒子 A 中球的总和。
P(R ∩ A) 和 P(G ∩ A) 呢？它们亦然概率但不附加任何条目。它们代表的是从树的根节点动身、从最运转起算的概率，不假设仍是选好了盒子正在取球而是把选盒子和取球两步合在整个，得出一个从起始到尽头的总概率。
P(R ∩ A) = P(A) . P(R | A) = 1/2 . 3/4 = 3/8
想想这个公式为什么拓荒呢？从盒子 A 中取到红球的条目概率是 3/4，但当今还要有计划选中盒子 A 本人的概率是1/2。两者相乘3/4 被缩减为 3/8。蒙眼东谈主选中盒子 A 的概率 P(A) = 1/2，继而在盒子 A 中摸到红球的概率 P(R | A) = 3/4，两步合起来 P(R ∩ A) = 3/8。由于两个盒子各含 4 个球且等概率被选中，3/8 施行上等于盒子 A 中的红球数除以全围聚球的总和。
这个恶果相宜表面：统统条目概率王人会因为前置的盒子采取概率而按比例减弱，即按选中该盒子的概率作念缩放。起点也从树的盒子节点送还到了根节点。
同理：
P(G ∩ A) = 1/8 = Green balls A contains / total number of balls in whole universe
P(R ∩ B) = 1/8， P(G ∩ B) = 3/8
到这里，整个全集仍是被切分红了四个不近似的概率块：
{jz:field.toptypename/}P(R ∩ A) + P(G ∩ A) + P(R ∩ B) + P(G ∩ B) = 3/8 + 1/8 + 1/8 + 3/8 = 8/8 = 1
四个块加起来刚好等于 1，讲解全围聚统统盒子与球的组合王人已穷尽，不存在遗漏。图示如下：
Universe-1
P(R | A) 面容的是红球在盒子 A 里面占多大比例；P(R ∩ A) 面容的是盒子 A 中的红球在整个全围聚占多大比例。二者的区别至关紧迫。
当今换一个方针发问：赶紧提起一个红球，华体会体育app官网它来自盒子 A 的概率是些许？即 P(A | R) = ?
这个问题的方针和树形图刚巧相背。原先的逻辑是先选盒子再选球，"天下"从全集减弱到特定盒子，在盒子层面预备条目概率。当今的逻辑则是先假设取到的球是红色的—— "天下"减弱到唯有红球——然后再看其中多大比例来自盒子 A。
一种意会款式是先构造一个"红球星球"，把全围聚统统红球聚在整个，再看盒子 A 孝顺了其中些许。
P(R) = P(R ∩ A) + P(R ∩ B) = 1/2
为什么这个值合理？全集被切成四个块，其中两个包含红球 P(R ∩ A) 和 P(R ∩ B)。将它们合并就获得红球的总概率。两个值王人是以全集为参考系的，是以 P(R) = 1/2 的含义是全围聚一半的球是红色的。
新的参考系如下：
Universe-2
同理：
P(G) = P(G ∩ A) + P(G ∩ B) = P(G | A) . P(A) + P(G | B) . P(B)
P(G) = 1/4 . 1/2 + 3/4 . 1/2 = 1/2
到这一步，"天下"的组织款式变了，从"盒子包含球"形成了"球佩戴源流盒子的标签"。
为什么要作念这个相易？原来的概率链条是"先选盒子、再取球"，但方针问题是反过来的：已知取到了红球，想知谈它来自哪个盒子，方针一回转就需要从 P(R | A) 转向预备 P(A | R)：
P(A | R) = P(A ∩ R) / P(R) = (3/8) / (1/2) = 3/4
为什么不告成用 P(A ∩ R) = 3/8 来恢复？因为 3/8 是站在全集视角看的——全围聚盒子 A 红球所占的比例。但问题要求站在"红球星球"的视角，而不是全集的视角。红球星球的总量比全集小，是以 3/8 按比例放大——除以 P(R) = 1/2，等价于乘以 2，获得 3/4。P(A ∩ R) 和 P(R) 的分母王人是全集，度量单元一致，相除后恶果就落在了红球星球的圭表上。
换个角度看也行：红球星球上共 4 个红球，其中 3 个来自盒子 A。
P(A | R) = count of red balls from planet A / total red balls = 3/4
还不错这么意会：红球星球由两个块构成——P(A ∩ R) 和 P(B ∩ R)，两者之和即 P(R)。要求 P(A ∩ R) 在 P(R) 中的占比，告成作念除法即可。
绿球方针的预备填塞对称：条目是绿球已被选中，求它来自盒子 B 的概率。
P(B | G) = P(B ∩ G) / P(G) = P(B ∩ G) / (P(A ∩ G) + P(B ∩ G))
P(B | G) = (3/8) / ((1/8) + (3/8)) = 3/4
小结一下整个经过：在全集 1 中，星球是盒子 A 和盒子 B，各自包含红球和绿球的分区。经过重组后，全集 2 中的星球形成了红球和绿球，各自包含盒子 A 和盒子 B 的分区。从一种隔离到另一种隔离的相易——这即是贝叶斯定理的实质。
告成代入公式考据：
P(A | R) = P(A ∩ R) / P(R)
= P(A ∩ R) / (P(A ∩ R) + P(B ∩ R))
= P(R | A) . P(A) / (P(R | A) . P(A) + P(R | B) . P(B))
= 3/4 (you can put values to confirm)
不外还需提防少量：
P(A ∩ R) = P(R | A) . P(A) [This is given in our problem. So we use this in our formula]
P(A ∩ R) = P(A | R) . P(R) [This is what we would find eventually. So we didn't use it in formula for calculation]
为什么这套全集相易的逻辑能走通？为什么底本以盒子为视角的概率不错翻转成以球为视角？根蒂原因在于全集概况通弊端乱运算被拆解成互不近似的概率块。
"全集不错被分割成小的、带标签的块（蚁集概率）。"
这些小块各自佩戴一个条目标签，不错按需再行组合成新的"星球"，从而以不同的视角凝视团结个全集。P(R ∩ A)、P(R ∩ B)、P(G ∩ A)、P(G ∩ B)——这四个蚁集概率即是构建一切的基本单元。
贝叶斯公式：
P(A | R) = P(A ∩ R) / P(R) = P(R | A) . P(A) / P(R)
从盒子动身发问"给定盒子激情是什么"——谜底是条目概率 P(R | A)、P(G | B) 等。将条目概率乘以降落在该盒子上的概率 P(A) 或 P(B)，获得蚁集概率 P(R ∩ A) 等。按激情对蚁集概率分组，获得旯旮概率 P(R) 和 P(G)，进而就不错回转发问款式：P(A | R) 或 P(B | G)。
贝叶斯的念念想之是以当然到险些不需要讲授，因为全集自然地不错被切分红带标签的小块（蚁集概率），这些小块按盒子分组就获得盒子级别的概率，按激情分组就获得激情级别的概率。贝叶斯定理不外是一套以一致、归一化的款式将"给定"方针从盒子→激情翻转为激情→盒子的算术步调。
by Syed Abdullah
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